Méthode de Newton :
Soit \(f:[a,b]\to{\Bbb R}\) une fonction dérivable
Alors la suite définie par $$u_0\in[a,b]\quad\text{ et }\quad u_{n+1}=u_n-\frac{f(u_n)}{f'(u_n)}$$
Converge vers la solution \(\ell\) de \(f(x)=0\)
(Dérivabilité, Suite réelle, //Méthode de la sécante) méthode de Newton : $${{X_0\text{ donné }\qquad X_{k+1}=X_k-\frac{F(X_k)}{F^\prime(X_k)} }}$$
Intérêt
La méthode de Newton a pour avantage de converger très très vite vers la valeurs désirée
Convergence
Théorème :
Soit \(g\in\mathcal C^2(I,{\Bbb R})\) une fonction admettant un zéro \(\alpha\) dans l'intérieur de \(I\)
On suppose que \(g'(\alpha)\neq0\)
Alors il existe \(\rho\gt 0\) tel que pour tout \(x_0\in]\alpha-\rho,\alpha+\rho[\), la suite de la méthode de Newton est bien définie et converge vers \(\alpha\)
De plus, la convergence est au moins quadratique
(Classe de fonctions, Intérieur, Ordre d'une méthode de quadrature)
Théorème :
Soit \(Y^*\) le zéro de \(F\)
La méthode de Newton converge quadratiquement sous réserve que \(F^\prime(Y^*)\ne0\)
Théorème :
Soit \(F\) une fonction tq \(F(Y^*)=0\) et de classe \(\mathcal C^1\) tq \(dF(Y^*)\ne0\) et \(dF\) est \(\Lambda\)-lipschitzienne
Alors il existe \(V\in\mathcal V(Y^*)\) tq \(\forall X_0\in V\), la méthode de Newton converge et vérifie : $${{\lVert X^{k+1}-Y^*\rVert\leqslant M\lVert X^k-Y^*\rVert^2}}$$
